BAHAN AJAR VI VEKTOR (RPP DAN MATERI)

Rencana Pembelajaran

dan 

Uraian Materi

Mata Pelajaran Matematika

Topik Bahasan

VEKTOR

Sasaran

MAN  Kelas XII Semester Genap

O l e h

Emilda Fitri, S.Pd.

( MAN 2 Sungai Penuh ]

MADRASAH ALIYAH NEGERI 2 SUNGAI PENUH

KEMENTERIAN AGAMA KABUPATEN KERINCI

Tahun 2011

 

 RENCANA PEMBELAJARAN

                                                 Mata Pelajaran         :  Matematika

                                                 Satuan Pendidikan     :  MAN 2 Sungai Penuh

                                                 Kelas/Program Studi  :  XII/Ilmu Alam

                                                 Semester                 :  Genap

                                                 Pokok Bahasan         :  Vektor

                                                 Alokasi Waktu          :  4 x 45 Menit

1.    Standar Kompetensi

Merancang dan menggunakan model matematika program linear serta menggunakan sifat dan aturan yang berkaitan dengan barisan, deret, matriks, vektor, transformasi, fungsi eksponen, dan logaritma dalam pemecahan masalah.

2.    Kompetensi Dasar

2.1     Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah;

2.2     Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam pemecahan masalah.

3.    Indikator

3.1   Kognitif

              1)   Menjelaskan ciri suatu vektor sebagai ruas garis berarah dan pasangan terurut bilangan real;

2)   Menentukan panjang suatu vektor di bidang dan ruang;

3)   Menentukan jumlah, selisih, hasil kali vektor dengan skalar dan lawan suatu vektor;

3.2   Psikomotor

             1)   Terampil menggunakan konsep vektor untuk memecahkan masalah baik dalam mata pelajaran lain maupun dalam kehidupan sehari-hari;

3.3   Afektif

              1)   Menghargai pendapat teman;

              2)   Berani mengkomunikasikan hasil pekerjaan kepada teman sekelas dan guru;

3.4   Life Skill

             1)   Mampu menggali informasi;

             2)   Mampu mengidentifikasi masalah;

             3)   Mampu memecahkan masalah;

             4)   Mampu mengkomunikasikan hasil yang diperoleh;

4.    Materi Pembelajaran

4.1   Notasi Vektor;

4.2   Aljabar Vektor;

4.3   Vektor Basis;

4.4   Vektor Posisi;

4.5   Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik);

5.    Kegiatan Pembelajaran

5.1   Model Pembelajaran   :  Ekspositori

5.2   Pendekatan               :  Pemecahan Masalah (soal)

5.3   Metode                     :  Diskusi – Informasi

6.    Sintaks Pembelajaran

Tahapan Pembelajaran	Kegiatan Guru / Siswa	Life Skill
1.  Apersepsi 2.  Motivasi 3.  Pengembangan 4.  Penerapan 5.  Penutup	Guru menjelaskan SK/KD dan siswa memperhatikan; Siswa diberi pemahaman tentang pentingnya penggunaan vektor dalam menyelesaikan masalah; Guru menjelaskan pokok-pokok materi disertai contoh soal dan penyelesaiannya; Siswa menyelesaikan soal-soal yang diberikan guru atau dari buku; Guru mengarahkan hasil pekerjaan siswa untuk lebih memahami dan mendalami konsep-konsep materi; Menyimpulkan (merangkum) hasil pekerjaan siswa disesuaikan dengan konsep materi yang telah diberikan.	Menggali informasi; Menggali informasi; Menggali dan mengolah informasi, mampu berkomunikasi;  Mengolah informasi, bekerjasama, mampu berkomunikasi; Mampu berkomonikasi dan menerima serta menghargai keputusan yang diambil.

7.    Alat, Bahan dan Sumber

7.1   Alat/Media  :   Slide (Presentasi)

7.2   Bahan        :   —

7.3   Sumber      :   Buku Paket Matematika dan buku-buku lain yang relevan

8.    Penilaian

·         Tes dan Non Tes

·         Soal test terlampir

                                                                                                    Sungai Penuh,  Januari 2011

                                Mengetahui                                                          Guru Mata Pelajaran

                            Kepala Madrasah

                        Azharuddin. K, S.Ag                                                   Emilda Fitri, S.Pd

                 NIP. 19520510 198303 1 002                                  NIP. 19790822 200312 2 003

URAIAN MATERI

Penerapan Konsep Vektor untuk Menyelesaikan Masalah

Vektor sangat dikenal dalam pelajaran Fisika karena merupakan salah satu besaran selain besaran skalar. Perbedaan keduanya adalah:

Œ  Skalar merupakan besaran yang hanya mempunyai nilai saja, yang dapat dinyatakan dengan bilangan real tertentu. Contoh besaran ini adalah suhu, massa, dan lain-lain;

  Vektor merupakan besaran yang mempunyai nilai serta memiliki arah. Contoh besaran vektor adalah jarak, kecepatan, dan lain-lain.

Banyak manfaat yang diperoleh dari penerapan konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari. Vektor dapat digunakan untuk menghitung jarak, kecepatan, medan listrik dan sebagainya. Uraian materi berikut akan memperjelas pemahaman Anda mengenai konsep vektor dan penerapannya.

A.   Notasi Vektor

Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis berarah yang panjang dan arahnya tertentu. Suatu vektor dapat digambarkan sebagai sebuah ruas garis berarah.

Ruas garis AB menunjukkan sebuah vektor dengan A sebagai titik pangkal, B sebagai titik ujung, arah anak    menunjukkan arah vektor, dan panjang anak panah sebagai panjang atau besar vektor. Vektor biasanya dituliskan dengan huruf kecil tebal atau miring, misalnya u, u, atau .

Secara analitis vektor dinyatakan sebagai pasangan terurut bilangan real. Vektor di bidang (R²) dinyatakan sesuai pasangan bilangan pada koordinat sumbu X dan Y, yaitu vektor atau . Vektor di ruang (R³) dinyatakan menurut koordinat sumbu X, Y, dan Z. Jadi, atau .

Andaikan vektor u dengan titik pangkal di (x₁,y₁) dan titik ujungnya pada (x₂,y₂) maka sesuai dengan teorema Pythagoras panjang dari vektor u ditentukan dengan rumus:

B.   Aljabar Vektor

Sebelum membahas aljabar vektor perlu dipahami ketentuan berikut:

Dua vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya.

  Suatu vektor v dikatakan invers dari vektor u jika berlaku u + v = 0. (0 adalah vektor nol dimana arahnya tak tentu). Dua vektor dikatakan saling invers jika besarnya sama tetapi berlawanan arah.

Œ 1.  Penjumlahan Vektor

Secara geometris penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

a)    Aturan segitiga, langkah-langkahnya:

Å       Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik ujung vektor u;

Å      Vektor (u+v) diperoleh dengan cara menghubungkan titik pangkal vektor u dengan titik ujung vektor v
    

b)    Aturan jajargenjang, langkah-langkahnya:

Å       Tempatkan titik pangkal vektor v sehingga berimpit dengan titik pangkal vektor u;

Å       Bentuklah jajargenjang dengan sisi-sisi yang sejajar dengan u dan v;

Å       Vektor (u+v) adalah diagonal jajargenjang dengan titik pangkal vektor u.
     

Secara analitis penjumlahan vektor dilakukan dengan menjumlahkan komponen-komponen yang seletak. Jika dan maka .

Besar atau panjang vektor hasil penjumlahan: 

 2.  Pengurangan Vektor

Secara geometris pengurangan vektor u dengan vektor v adalah penjumlahan vektor u dengan invers vektor v, yang dapat dilakukan dengan salah satu aturan penjmlahan vektor di atas.

Pengurangan vektor secara analitis dilakukan dengan meng-operasikan komponen-komponen yang letaknya sama. Jika dan maka .
Besar atau panjang vektor hasil pengurangan:

Ž3.   Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika m adalah bilangan real (skalar), maka mu adalah penggandaan atau perbanyakan vektor u sebanyak m. Arah mu sama dengan arah vektor u dan besarnya .     

Sedangkan (-mu) merupakan vektor yang panjangnya sama dengan tetapi berlawanan arah dengan vektor u.

Secara analitis perkalian skalar m dengan vektor adalah .

C.   Vektor Basis

Vektor basis adalah vektor yang panjangnya sama dengan 1 satuan panjang. Vektor basis dalam sistem koordinat bidang dinyatakan dengan vektor i dan j. Vektor i merupakan vektor basis searah sumbu X positif dan vektor j adalah vektor basis searah sumbu Y positif. Sedangkan vektor basis dalam ruang dinyatakan dalam vektor i, j, dan k berturut-turut sejajar dengan sumbu X, Y, dan Z positif.

 

             Vektor i dan j merupakan vektor basis dalam bidang (R²)

i   vektor satuan searah sumbu X positif

j  vektor satuan searah sumbu Y positif

Vektor i, j, dan k merupakan vektor basis dalam ruang (R³)     

i   vektor satuan searah sumbu X positif

j  vektor satuan searah sumbu Y positif

k  vektor satuan searah sumbu Z positif

Contoh: vektor bila dinyatakan dalam bentuk vektor basis menjadi

D.   Vektor Posisi

Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal pada titik pangkal koordinat. Komponen sebuah vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor basis.

Vektor diwakili oleh vektor r yaitu vektor posisi dengan titik R(x,y) atau dinyatakan dalam kombinasi linear maka .  
 

Panjang dari r  :

Dalam ruang dimensi tiga (R³) titik R(x,y,z) adalah vektor posisi dari OR yang dinyatakan sebagai .

Berlaku panjang dari r adalah:

Vektor satuannya:   
 
  dan adalah vektor-vektor posisi.

 

Secara umum komponen vektor dari dua titik dalam sistem koordinat dapat ditentukan dengan cara komponen titik ujung dikurangi komponen titik pangkal.

E.   Perkalian Skalar Vektor (Perkalian Titik)

 
Hasil kali skalar dua vektor u dan v didefinisikan sebagai:

; dengan adalah sudut yang diapit oleh vektor u dan v. Perkalian skalar antar vektor menghasilkan sebuah skalar.
                   

karena sejajar

karena tegak lurus

Perkalian skalar dua vektor dalam bentuk komponen:

Misalkan vektor dan , maka:

Sifat-sifat perkalian skalar vektor:

Œa.   Sifat komutatif:

b.   Sifat distributif:

c. Ž  Dua vektor yang saling sejajar, sudut antara keduanya sama dengan 0^o.

Jadi:

d.   Dua vektor yang saling tegak lurus, sudut antara keduanya sama dengan 90^o.

Jadi:

 e.   Dua vektor yang berlawanan arah, sudut antara keduanya sama dengan 180^o.

Jadi:

     Tanda dari hasil kali skalar:    Jika        

                                                                     

                                                        

H.   Contoh Soal dan Pembahasan

1.     Diketahui koordinat  

a)   Nyatakan komponen dari  .

b)   Nyatakan sebagai kombinasi linear vektor basis.

c)   Hitung panjang .

      Jawab:

        a)

    
b) 

c)  

I.  Uji Kompetensi

     1. Vektor a mempunyai titik pangkal . Jika komponen vektor a adalah maka titik  ujung vektor a adalah ….
     

      Jawab:

    Misalkan titik ujung ujung vektor a adalah maka:

  

    Titik ujung vektor a adalah ,       ( B )

J.    Soal Latihan

     1. Diketahui , tentukan panjang vektor u.

        Jawab:

       

    3. Ditentukan vektor . Nyatakan vektor-vektor .

       Jawab:

    

    4.Jika   dan tentukan komponen vektor .

      Jawab:

     

   5.Diketahui , tentukan .

        Jawab:

      

  6. Dari soal nomor 5 diatas nyatakan serta vektor satuan dari q .

      Jawab:

      

    7. Nyatakan vektor-vektor dalam vektor basis.

       Jawab:

      

   8. Jika tentukan .

      Jawab:

    

    9.Diketahui titik . Tentukan .

       Jawab:

     

   10. Hitunglah nilai a . b jika

        Jawab: